If a +1, 2a +1 , 4a-1 are in Arithmetic Progression then the value of 'a' is :

Created: 7 years ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

1
খ

2
গ

3
ঘ

4

893

ব্যাখ্যাঃ

যদি তিনটি রাশি সমান্তর প্রগমন (Arithmetic Progression - AP) এ থাকে, তাহলে দ্বিতীয় পদ বিয়োগ প্রথম পদ, তৃতীয় পদ বিয়োগ দ্বিতীয় পদের সমান হবে। অর্থাৎ, তাদের সাধারণ অন্তর (common difference) সমান হবে।

যদি $T_1, T_2, T_3$ তিনটি পদ সমান্তর প্রগমনে থাকে, তাহলে:

\[ T_2 - T_1 = T_3 - T_2 \]

বা, মধ্য পদ প্রথম ও তৃতীয় পদের গড় হবে, যা এভাবেও লেখা যায়:

\[ 2T_2 = T_1 + T_3 \]

এখানে প্রদত্ত পদগুলো হলো:

প্রথম পদ $T_1 = a + 1$
দ্বিতীয় পদ $T_2 = 2a + 1$
তৃতীয় পদ $T_3 = 4a - 1$

সমান্তর প্রগমনের শর্ত অনুযায়ী, আমরা পাই:

\[ (2a + 1) - (a + 1) = (4a - 1) - (2a + 1) \]

বাম পাশ সরল করে পাই:

\[ 2a + 1 - a - 1 = a \]

ডান পাশ সরল করে পাই:

\[ 4a - 1 - 2a - 1 = 2a - 2 \]

সুতরাং, আমরা সমীকরণটি পাই:

\[ a = 2a - 2 \]

এখন 'a' এর মান নির্ণয় করি:

\[ a - 2a = -2 \]

\[ -a = -2 \]

\[ a = 2 \]

সুতরাং, 'a' এর মান 2.

💡 শর্টকাট টেকনিক (Option Test):

এ ধরনের বহু নির্বাচনী প্রশ্নগুলো সমাধানের জন্য অপশন টেস্ট পদ্ধতি বেশ কার্যকর। আমরা প্রতিটি অপশনের মান 'a' এর জায়গায় বসিয়ে দেখব কোন ক্ষেত্রে রাশিগুলো সমান্তর প্রগমনে থাকে।

অপশন 1: a = 1
    পদগুলো হবে: $1 + 1 = 2$, $2(1) + 1 = 3$, $4(1) - 1 = 3$
    অনুক্রম: $2, 3, 3$
    সাধারণ অন্তর: $3 - 2 = 1$ এবং $3 - 3 = 0$
    যেহেতু সাধারণ অন্তর সমান নয় ($1 \ne 0$), এটি সমান্তর প্রগমন নয়।
অপশন 2: a = 2
    পদগুলো হবে: $2 + 1 = 3$, $2(2) + 1 = 5$, $4(2) - 1 = 7$
    অনুক্রম: $3, 5, 7$
    সাধারণ অন্তর: $5 - 3 = 2$ এবং $7 - 5 = 2$
    যেহেতু সাধারণ অন্তর সমান ($2$), এটি একটি সমান্তর প্রগমন। সুতরাং, $a=2$ সঠিক উত্তর।

যেহেতু আমরা সঠিক উত্তর পেয়ে গেছি, অন্য অপশনগুলো পরীক্ষা করার প্রয়োজন নেই।

Najjar Hossain Raju

1 month ago

MCQ: 358 CQ: 51

Practice

সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 3 – 1 = 2,

তৃতীয় পদ দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 – 2, চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5, ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1 + 4 + 7 + 10 + . . . একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a +d) + (a + 2d) + . . . ।

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + (1 – 1)d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + (2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + (3 – 1)d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + (4 – 1) d

. . . . . .

$∴$ n তম পদ = a + (n - 1) d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n 1, 2, 3, 4, . . . বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ = নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1) × 2 = 2n + 1 ।

উদাহরণ ২. 5 + 8 + 11 + 14 + . . . ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 I

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n}$ ।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{n}$